Demonstração da área do círculo através de um polígono regular inscrito

Considere o polígono regular inscrito abaixo
Esse polígono, de n lados inscrito em uma circunferência de raio r. $$ \text{ O ângulo }a\text{ pode ser descrito como } \frac{2\pi}{n} $$ A área de cada triângulo pode ser obtida com a seguinte fórmula $$ sin\left( a \right)\cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 $$ Então, a área de um polígono de n lados e raio r será $$ sin\left( a \right)\cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot n $$ Agora vamos considerar que n tende a ∞, assim, o polígono se aproximará da circunferência. A área desse novo polígono será $$ lim_{n \to \infty} \left[ sin\left( a \right)\cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot n \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{a \cdot sin\left( a \right)}{a} \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot n \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot a \cdot \frac{nr^2}{2} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot \frac{2\pi}{n} \cdot \frac{nr^2}{2} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot \frac{2 \pi nr^2}{2n} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot \pi r^2 \right] $$ $$\pi r^2 \cdot lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} [a] = lim_{n\to \infty} \left[{\frac{2\pi}{n}}\right]=0 $$ $$ \pi r^2 \cdot lim_{a \to 0} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \right] = \pi r^2 $$ Assim, demonstramos a área de uma circunferência.