Demonstração para Teorema relativo a espaços vetoriais

\[ \newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

Teorema:

Se u é um objeto qualquer pertencente a um espaço vetorial então vale que:

1. (-1)u = -u
2. 0u = 0
3. a0 = 0
4. Se au = 0, então a = 0 ou u = 0

Demonstração:

Hipótese a:

Iremos partir da hipótese e verificar que ela equivale a um dos axiomas que definem um espaço vetorial.

$$ (-1)\v{u}=\v{-u} $$

Vamos somar 2u em ambos os lados da equação.

$$ (-1)\v{u} + 2\v{u} = -\v{u} + 2\v{u} $$

Como 2 = 1+1 a equação acima equivale a

$$ (-1)\v{u} + 2\v{u} = -\v{u} + (1+1)\v{u} $$

Porém, pelo axioma 8, podemos reescrever a equação acima como

$$ (-1+2)\v{u} = -\v{u} + \v{u} + \v{u} $$

$$ 1\v{u} = -\v{u} + \v{u} + \v{u} $$

Mas, pelo axioma 5, temos que a parcela -u + u = 0

$$ 1\v{u} = \v{0} + \v{u} $$

Pelo axioma 4, sabemos que 0+u=u e pelo axioma 10 que 1u=u

$$ \v{u}=\v{u} $$

Logo,

$$ (-1)\v{u}=-\v{u} \iff\v{u}=\v{u} $$

então (-1)u = u

cqd.

Hipótese b:

Vamos partir do "lado esquerdo" da equação e chegar ao "lado direito".

$$ \text{Como } 0=1-1 \text{ é válido que} $$

$$ 0\v{u} = (1-1)\v{u} $$

Porém, pelo axioma 8, temos que

$$ (1-1)\v{u} = 1\v{u} + (-1)\v{u} $$

Mas pela hipótese a (recém provada) e pelo axioma 10

$$ 1 \v{u} + (-1) \v{u} = \v{u} - \v{u} $$

E pelo axioma 5 concluímos que

$$ \v{u} - \v{u} = \v{0} $$

Assim...

$$ 0\v{u}=\v{0} $$

cqd.

Hipótese c:

Vamos partir do "lado esquerdo" da igualdade para chegar ao "lado direito".

$$ a \cdot \v{0} = a \cdot \left(\v{u} - \v{u} \right) $$

Pela hipótese a (já provada) e pelo axioma 10 temos que

$$ a \cdot \left(\v{u} - \v{u} \right) = a \cdot \left(1 \cdot \v{u} + (-1)\cdot \v{u} \right) $$

Pelos axiomas 7 e 9, temos que

$$ a \cdot \left(1 \cdot \v{u} + (-1)\cdot \v{u} \right) = (a - a)\cdot \v{u} $$

Porém, como a - a = 0, temos que

$$ (a - a)\cdot \v{u} = 0\v{u} $$

Utilizando a hipótese b (já provada) chegamos em

$$ 0\v{u} = \v{0} $$

Logo...

$$ a \cdot \v{0} = \v{0} $$

cqd.

Hipótese d:

Vamos utilizar demonstração por absurdo.

Queremos provar a preposição

$$ a\v{u}=\v{0} \to \left(a=0\ \lor\ \v{u}=\v{0}\right) $$

Então vamos verificar se a sua negação é falsa. A negação dessa preposição é

$$ a\v{u}=\v{0}\ \land\ \left( a \neq 0\ \land\ \v{u} \neq \v{0} \right) $$

Porém, se a é diferente de 0, existe um b tal que ab=1.

Multiplicando os dois lados por b, na primeira equação temos

$$ a\v{u} = \v{0} $$

$$ b(a\v{u})= b \v{0} $$

Pelo axioma 9 e pela hipótese c (já provada) temos que a equação acima equivale a

$$ (ab)\v{u} = \v{0} $$

Porém, como ab=1, a equação acima equivale a

$$ 1 \v{u} = \v{0} $$

Ou ainda, pelo axioma 10

$$ \v{u} = \v{0} $$

Logo, chegamos a conclusão de que a preposição

$$ a\v{u}=\v{0}\ \land\ \left( a \neq 0\ \land\ \v{u} \neq \v{0} \right) $$

vai ser sempre falso pois quando a for diferente de 0, u obrigatoriamente vai ser 0 para que au = 0.

Assim, concluímos que a preposição

$$ a\v{u}=\v{0} \to \left(a=0\ \lor\ \v{u}=\v{0}\right) $$

é sempre verdadeira, já que sua negação é sempre falsa.

cqd.

Observação

Essas quatro hipóteses serem verdadeiras para qualquer u pertencente a um espaço vetorial não implica que se essas hipóteses forem verdadeiras teremos u pertencendo a um espaço vetorial. É como se tivéssemos a preposição:

$$ \text{V é espaço vetorial} \implies \text{Hipóteses a, b, c e d são verdadeiras} $$

Isso não significa necessariamete que

$$ \text{Hipóteses a, b, c e d são verdadeiras} \implies \text{V é espaço vetorial.}$$