Os 10 axiomas que definem um espaço vetorial.

\[ \newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}} \]
1. Este axioma diz que, sejam u e v dois objetos em V, então u + v também será um objeto em V.\[ \v{u} \in V \land \v{v} \in V \implies \v{u}+\v{v} \in V\]
   
2. Este axioma trata da comutatividade da soma de dois objetos em V.\[ \v{u}+\v{v}=\v{v}+\v{u} \]
   
3. Este axioma diz respeito a associatividade da soma de objetos em V.
   \[ \v{u} + (\v{v}+\v{w}) = (\v{u}+\v{v})+\v{w} \]
   
4. Existe um objeto 0 em V, denominado vetor nulo de V, ou vetor zero, tal que ele, somado a qualquer objeto de V resulta no próprio objeto.
   \[ \left(\exists _ \v{0} \in V\right)\left(\forall _\v{u} \in V\ /\ \v{0}+\v{u} = \v{u} + \v{0} = \v{u} \right) \]
   
5. Para qualquer objeto u em V, é obrigatório que exista um objeto -u, denominado vetor negativo de u ou vetor simétrico a u, tal que u + (-u) sempre resulte no vetor nulo.
   \[ \left( \forall _\v{u} \in V \right)\left( \exists _{\v{-u}} \in V\ /\ \v{u}+(\v{-u}) = (\v{-u})+\v{u} = \v{0} \right)\]
   
6. Um objeto em V, multiplicado por qualquer escalar sempre deve resultar em um objeto em V.\[ \left( \forall_a \in \mathbb{C} \land \forall_\v{u} \in V \right) \left( a \v{u} \in V \right) \]
   
7. Aqui diz respeito a distributiva no produto de um escalar qualquer pela soma de dois objetos em V.\[ a(\v{u} + \v{v}) = a\v{u} + a\v{v}  \]
   
8. A distributiva do produto da soma de dois escalares por um objeto em V, também é válida.
   \[ (a+b)\v{u} = a\v{u} + b\v{u} \]
   
9. Aqui fala da associatividade no produto de um escalar, pelo produto de um outro escalar qualquer por um objeto em V.
   \[ a(b\v{u})=(ab)\v{u} \]
   
10. O escalar 1, multiplicado a qualquer objeto em V, deve resultar no próprio objeto.
    \[ 1\v{u}=\v{u} \]
    

Exemplos de Espaços Vetoriais

\[ \mathbb{R}^n \text{ é um espaço vetorial.} \] \[ \text{Seja V um espaço que consista apenas no objeto } \v{0} \text{, V é um espaço vetorial.} \]

Fonte: Aula 14 do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS - Campus Canoas disponibilizado pela Prof.ª Dr.ª Carina Loureiro Andrade.