O "Teorema de Pitágoras" para qualquer figura (demonstração)

Sabemos que a soma dos quadrados dos catetos de qualquer triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. Porém, estamos considerando a hipótese de isso ser válido para qualquer figura escalonada na proporção a²+b²=c². Observe a construção abaixo:

Link: http://ggbtu.be/m3136031

Vamos demonstrar isso agora:

\[ \text{Sendo } f(t) \text{ uma função definida no intervalo [0,1]}\\ \text{Definiremos } F(x):=\int_0 ^x {xf\left( \frac{t}{x} \right)dt}\\ \text{ }\\ \text{Queremos demonstrar que } \left(\forall _{a,b,c} \in \mathbb{R} / a^2+b^2=c^2 \right)\left(F(a)+F(b)=F(c)\right) \\\text{ como vimos na construção acima}\\ \text{ }\\ \text{Vamos utilizar substituição u.du em }F(x)\\ u=\frac{t}{x}, dt=x \cdot dt\\ t=0 \implies u = \frac{t}{x} = \frac{0}{x} = 0\\ t=x \implies u = \frac{t}{x} = \frac{x}{x} = 1\\ \text{ }\\ F(x)=\int_0^1{x^2 f(u) du}\\ F(x)=x^2 \int_0^1{f(u)du}\\ \text{ }\\ \text{ }\\ F(a)+F(b)=a^2\left(\int_0^1{f(u)du}\right) + b^2\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ F(a)+F(b)=\left(a^2+b^2\right)\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ \text{Porém, } F(c)=c^2 \int_0^1{f(u)du}=\left(a^2+b^2\right)\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ \text{Logo, } F(a)+F(b)=F(c)\\cqd. \]