Demonstração da área do círculo através de um polígono regular inscrito

Considere o polígono regular inscrito abaixo
Esse polígono, de n lados inscrito em uma circunferência de raio r. $$ \text{ O ângulo }a\text{ pode ser descrito como } \frac{2\pi}{n} $$ A área de cada triângulo pode ser obtida com a seguinte fórmula $$ sin\left( a \right)\cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 $$ Então, a área de um polígono de n lados e raio r será $$ sin\left( a \right)\cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot n $$ Agora vamos considerar que n tende a ∞, assim, o polígono se aproximará da circunferência. A área desse novo polígono será $$ lim_{n \to \infty} \left[ sin\left( a \right)\cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot n \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{a \cdot sin\left( a \right)}{a} \cdot \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot n \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot a \cdot \frac{nr^2}{2} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot \frac{2\pi}{n} \cdot \frac{nr^2}{2} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot \frac{2 \pi nr^2}{2n} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \cdot \pi r^2 \right] $$ $$\pi r^2 \cdot lim_{n \to \infty} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \right] $$ $$ lim_{n \to \infty} [a] = lim_{n\to \infty} \left[{\frac{2\pi}{n}}\right]=0 $$ $$ \pi r^2 \cdot lim_{a \to 0} \left[ \frac{sin\left( a \right)}{a} \right] = \pi r^2 $$ Assim, demonstramos a área de uma circunferência.

Esboço de um Hiperbolóide de uma folha

Link: http://ggbtu.be/m3205487

Esboço de um Parabolóide Hiperbólico

Link: http://ggbtu.be/m3205431

Demonstração para Teorema relativo a espaços vetoriais

\[ \newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}} \]

Teorema:

Se u é um objeto qualquer pertencente a um espaço vetorial então vale que:

1. (-1)u = -u
2. 0u = 0
3. a0 = 0
4. Se au = 0, então a = 0 ou u = 0

Demonstração:

Hipótese a:

Iremos partir da hipótese e verificar que ela equivale a um dos axiomas que definem um espaço vetorial.

$$ (-1)\v{u}=\v{-u} $$

Vamos somar 2u em ambos os lados da equação.

$$ (-1)\v{u} + 2\v{u} = -\v{u} + 2\v{u} $$

Como 2 = 1+1 a equação acima equivale a

$$ (-1)\v{u} + 2\v{u} = -\v{u} + (1+1)\v{u} $$

Porém, pelo axioma 8, podemos reescrever a equação acima como

$$ (-1+2)\v{u} = -\v{u} + \v{u} + \v{u} $$

$$ 1\v{u} = -\v{u} + \v{u} + \v{u} $$

Mas, pelo axioma 5, temos que a parcela -u + u = 0

$$ 1\v{u} = \v{0} + \v{u} $$

Pelo axioma 4, sabemos que 0+u=u e pelo axioma 10 que 1u=u

$$ \v{u}=\v{u} $$

Logo,

$$ (-1)\v{u}=-\v{u} \iff\v{u}=\v{u} $$

então (-1)u = u

cqd.

Hipótese b:

Vamos partir do "lado esquerdo" da equação e chegar ao "lado direito".

$$ \text{Como } 0=1-1 \text{ é válido que} $$

$$ 0\v{u} = (1-1)\v{u} $$

Porém, pelo axioma 8, temos que

$$ (1-1)\v{u} = 1\v{u} + (-1)\v{u} $$

Mas pela hipótese a (recém provada) e pelo axioma 10

$$ 1 \v{u} + (-1) \v{u} = \v{u} - \v{u} $$

E pelo axioma 5 concluímos que

$$ \v{u} - \v{u} = \v{0} $$

Assim...

$$ 0\v{u}=\v{0} $$

cqd.

Hipótese c:

Vamos partir do "lado esquerdo" da igualdade para chegar ao "lado direito".

$$ a \cdot \v{0} = a \cdot \left(\v{u} - \v{u} \right) $$

Pela hipótese a (já provada) e pelo axioma 10 temos que

$$ a \cdot \left(\v{u} - \v{u} \right) = a \cdot \left(1 \cdot \v{u} + (-1)\cdot \v{u} \right) $$

Pelos axiomas 7 e 9, temos que

$$ a \cdot \left(1 \cdot \v{u} + (-1)\cdot \v{u} \right) = (a - a)\cdot \v{u} $$

Porém, como a - a = 0, temos que

$$ (a - a)\cdot \v{u} = 0\v{u} $$

Utilizando a hipótese b (já provada) chegamos em

$$ 0\v{u} = \v{0} $$

Logo...

$$ a \cdot \v{0} = \v{0} $$

cqd.

Hipótese d:

Vamos utilizar demonstração por absurdo.

Queremos provar a preposição

$$ a\v{u}=\v{0} \to \left(a=0\ \lor\ \v{u}=\v{0}\right) $$

Então vamos verificar se a sua negação é falsa. A negação dessa preposição é

$$ a\v{u}=\v{0}\ \land\ \left( a \neq 0\ \land\ \v{u} \neq \v{0} \right) $$

Porém, se a é diferente de 0, existe um b tal que ab=1.

Multiplicando os dois lados por b, na primeira equação temos

$$ a\v{u} = \v{0} $$

$$ b(a\v{u})= b \v{0} $$

Pelo axioma 9 e pela hipótese c (já provada) temos que a equação acima equivale a

$$ (ab)\v{u} = \v{0} $$

Porém, como ab=1, a equação acima equivale a

$$ 1 \v{u} = \v{0} $$

Ou ainda, pelo axioma 10

$$ \v{u} = \v{0} $$

Logo, chegamos a conclusão de que a preposição

$$ a\v{u}=\v{0}\ \land\ \left( a \neq 0\ \land\ \v{u} \neq \v{0} \right) $$

vai ser sempre falso pois quando a for diferente de 0, u obrigatoriamente vai ser 0 para que au = 0.

Assim, concluímos que a preposição

$$ a\v{u}=\v{0} \to \left(a=0\ \lor\ \v{u}=\v{0}\right) $$

é sempre verdadeira, já que sua negação é sempre falsa.

cqd.

Observação

Essas quatro hipóteses serem verdadeiras para qualquer u pertencente a um espaço vetorial não implica que se essas hipóteses forem verdadeiras teremos u pertencendo a um espaço vetorial. É como se tivéssemos a preposição:

$$ \text{V é espaço vetorial} \implies \text{Hipóteses a, b, c e d são verdadeiras} $$

Isso não significa necessariamete que

$$ \text{Hipóteses a, b, c e d são verdadeiras} \implies \text{V é espaço vetorial.}$$

Os 10 axiomas que definem um espaço vetorial.

\[ \newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}} \]
1. Este axioma diz que, sejam u e v dois objetos em V, então u + v também será um objeto em V.\[ \v{u} \in V \land \v{v} \in V \implies \v{u}+\v{v} \in V\]
   
2. Este axioma trata da comutatividade da soma de dois objetos em V.\[ \v{u}+\v{v}=\v{v}+\v{u} \]
   
3. Este axioma diz respeito a associatividade da soma de objetos em V.
   \[ \v{u} + (\v{v}+\v{w}) = (\v{u}+\v{v})+\v{w} \]
   
4. Existe um objeto 0 em V, denominado vetor nulo de V, ou vetor zero, tal que ele, somado a qualquer objeto de V resulta no próprio objeto.
   \[ \left(\exists _ \v{0} \in V\right)\left(\forall _\v{u} \in V\ /\ \v{0}+\v{u} = \v{u} + \v{0} = \v{u} \right) \]
   
5. Para qualquer objeto u em V, é obrigatório que exista um objeto -u, denominado vetor negativo de u ou vetor simétrico a u, tal que u + (-u) sempre resulte no vetor nulo.
   \[ \left( \forall _\v{u} \in V \right)\left( \exists _{\v{-u}} \in V\ /\ \v{u}+(\v{-u}) = (\v{-u})+\v{u} = \v{0} \right)\]
   
6. Um objeto em V, multiplicado por qualquer escalar sempre deve resultar em um objeto em V.\[ \left( \forall_a \in \mathbb{C} \land \forall_\v{u} \in V \right) \left( a \v{u} \in V \right) \]
   
7. Aqui diz respeito a distributiva no produto de um escalar qualquer pela soma de dois objetos em V.\[ a(\v{u} + \v{v}) = a\v{u} + a\v{v}  \]
   
8. A distributiva do produto da soma de dois escalares por um objeto em V, também é válida.
   \[ (a+b)\v{u} = a\v{u} + b\v{u} \]
   
9. Aqui fala da associatividade no produto de um escalar, pelo produto de um outro escalar qualquer por um objeto em V.
   \[ a(b\v{u})=(ab)\v{u} \]
   
10. O escalar 1, multiplicado a qualquer objeto em V, deve resultar no próprio objeto.
    \[ 1\v{u}=\v{u} \]
    

Exemplos de Espaços Vetoriais

\[ \mathbb{R}^n \text{ é um espaço vetorial.} \] \[ \text{Seja V um espaço que consista apenas no objeto } \v{0} \text{, V é um espaço vetorial.} \]

Fonte: Aula 14 do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS - Campus Canoas disponibilizado pela Prof.ª Dr.ª Carina Loureiro Andrade.

O "Teorema de Pitágoras" para qualquer figura (demonstração)

Sabemos que a soma dos quadrados dos catetos de qualquer triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. Porém, estamos considerando a hipótese de isso ser válido para qualquer figura escalonada na proporção a²+b²=c². Observe a construção abaixo:

Link: http://ggbtu.be/m3136031

Vamos demonstrar isso agora:

\[ \text{Sendo } f(t) \text{ uma função definida no intervalo [0,1]}\\ \text{Definiremos } F(x):=\int_0 ^x {xf\left( \frac{t}{x} \right)dt}\\ \text{ }\\ \text{Queremos demonstrar que } \left(\forall _{a,b,c} \in \mathbb{R} / a^2+b^2=c^2 \right)\left(F(a)+F(b)=F(c)\right) \\\text{ como vimos na construção acima}\\ \text{ }\\ \text{Vamos utilizar substituição u.du em }F(x)\\ u=\frac{t}{x}, dt=x \cdot dt\\ t=0 \implies u = \frac{t}{x} = \frac{0}{x} = 0\\ t=x \implies u = \frac{t}{x} = \frac{x}{x} = 1\\ \text{ }\\ F(x)=\int_0^1{x^2 f(u) du}\\ F(x)=x^2 \int_0^1{f(u)du}\\ \text{ }\\ \text{ }\\ F(a)+F(b)=a^2\left(\int_0^1{f(u)du}\right) + b^2\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ F(a)+F(b)=\left(a^2+b^2\right)\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ \text{Porém, } F(c)=c^2 \int_0^1{f(u)du}=\left(a^2+b^2\right)\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ \text{Logo, } F(a)+F(b)=F(c)\\cqd. \]

Geogebra

Geogebra é um aplicativo desenvolvido em Java que abrange tanto computadores (Windows e Linux), Smartphones (Android) e Tablets (Android, iOS e Windows). Ele possui diversas ferramentas que vão desde a geometria básica até ferramentas que nos auxiliam no estudo do Cálculo.

Veja esse exemplo de demonstração interativa do Teorema de Pitágoras feita no Geogebra, postada no Geogebra Tube (canal onde os usuários podem postar materiais criados no Geogebra).

 

Essa demonstração pode ser encontrada no link: http://tube.geogebra.org/material/simple/id/8662

Veja agora um exemplo de utilização do Geogebra para o estudo de funções.

 

Esse documento pode ser encontrado no http://ggbtu.be/m455095.

Faça o download do Geogebra através do site http://geogebra.org/ e acesse o Geogebra Tube através do endereço http://tube.geogebra.org/