Demonstração da área do círculo através de um polígono regular inscrito
Demonstração para Teorema relativo a espaços vetoriais
\[ \newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}} \]
Teorema:
Se u é um objeto qualquer pertencente a um espaço vetorial então vale que:
- (-1)u = -u
- 0u = 0
- a0 = 0
- Se au = 0, então a = 0 ou u = 0
Demonstração:
Hipótese a:
Iremos partir da hipótese e verificar que ela equivale a um dos axiomas que definem um espaço vetorial.
$$ (-1)\v{u}=\v{-u} $$
Vamos somar 2u em ambos os lados da equação.
$$ (-1)\v{u} + 2\v{u} = -\v{u} + 2\v{u} $$
Como 2 = 1+1 a equação acima equivale a
$$ (-1)\v{u} + 2\v{u} = -\v{u} + (1+1)\v{u} $$
Porém, pelo axioma 8, podemos reescrever a equação acima como
$$ (-1+2)\v{u} = -\v{u} + \v{u} + \v{u} $$
$$ 1\v{u} = -\v{u} + \v{u} + \v{u} $$
Mas, pelo axioma 5, temos que a parcela -u + u = 0
$$ 1\v{u} = \v{0} + \v{u} $$
Pelo axioma 4, sabemos que 0+u=u e pelo axioma 10 que 1u=u
$$ \v{u}=\v{u} $$
Logo,
$$ (-1)\v{u}=-\v{u} \iff\v{u}=\v{u} $$
então (-1)u = u
cqd.
Hipótese b:
Vamos partir do "lado esquerdo" da equação e chegar ao "lado direito".
$$ \text{Como } 0=1-1 \text{ é válido que} $$
$$ 0\v{u} = (1-1)\v{u} $$
Porém, pelo axioma 8, temos que
$$ (1-1)\v{u} = 1\v{u} + (-1)\v{u} $$
Mas pela hipótese a (recém provada) e pelo axioma 10
$$ 1 \v{u} + (-1) \v{u} = \v{u} - \v{u} $$
E pelo axioma 5 concluímos que
$$ \v{u} - \v{u} = \v{0} $$
Assim...
$$ 0\v{u}=\v{0} $$
cqd.
Hipótese c:
Vamos partir do "lado esquerdo" da igualdade para chegar ao "lado direito".
$$ a \cdot \v{0} = a \cdot \left(\v{u} - \v{u} \right) $$
Pela hipótese a (já provada) e pelo axioma 10 temos que
$$ a \cdot \left(\v{u} - \v{u} \right) = a \cdot \left(1 \cdot \v{u} + (-1)\cdot \v{u} \right) $$
Pelos axiomas 7 e 9, temos que
$$ a \cdot \left(1 \cdot \v{u} + (-1)\cdot \v{u} \right) = (a - a)\cdot \v{u} $$
Porém, como a - a = 0, temos que
$$ (a - a)\cdot \v{u} = 0\v{u} $$
Utilizando a hipótese b (já provada) chegamos em
$$ 0\v{u} = \v{0} $$
Logo...
$$ a \cdot \v{0} = \v{0} $$
cqd.
Hipótese d:
Vamos utilizar demonstração por absurdo.
Queremos provar a preposição
$$ a\v{u}=\v{0} \to \left(a=0\ \lor\ \v{u}=\v{0}\right) $$
Então vamos verificar se a sua negação é falsa. A negação dessa preposição é
$$ a\v{u}=\v{0}\ \land\ \left( a \neq 0\ \land\ \v{u} \neq \v{0} \right) $$
Porém, se a é diferente de 0, existe um b tal que ab=1.
Multiplicando os dois lados por b, na primeira equação temos
$$ a\v{u} = \v{0} $$
$$ b(a\v{u})= b \v{0} $$
Pelo axioma 9 e pela hipótese c (já provada) temos que a equação acima equivale a
$$ (ab)\v{u} = \v{0} $$
Porém, como ab=1, a equação acima equivale a
$$ 1 \v{u} = \v{0} $$
Ou ainda, pelo axioma 10
$$ \v{u} = \v{0} $$
Logo, chegamos a conclusão de que a preposição
$$ a\v{u}=\v{0}\ \land\ \left( a \neq 0\ \land\ \v{u} \neq \v{0} \right) $$
vai ser sempre falso pois quando a for diferente de 0, u obrigatoriamente vai ser 0 para que au = 0.
Assim, concluímos que a preposição
$$ a\v{u}=\v{0} \to \left(a=0\ \lor\ \v{u}=\v{0}\right) $$
é sempre verdadeira, já que sua negação é sempre falsa.
cqd.
Observação
Essas quatro hipóteses serem verdadeiras para qualquer u pertencente a um espaço vetorial não implica que se essas hipóteses forem verdadeiras teremos u pertencendo a um espaço vetorial. É como se tivéssemos a preposição:
$$ \text{V é espaço vetorial} \implies \text{Hipóteses a, b, c e d são verdadeiras} $$
Isso não significa necessariamete que
$$ \text{Hipóteses a, b, c e d são verdadeiras} \implies \text{V é espaço vetorial.}$$
Os 10 axiomas que definem um espaço vetorial.
-
\[ \newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}} \]
- Este axioma diz que, sejam u e v dois objetos em V, então u + v também será um objeto em V.\[ \v{u} \in V \land \v{v} \in V \implies \v{u}+\v{v} \in V\]
- Este axioma trata da comutatividade da soma de dois objetos em V.\[ \v{u}+\v{v}=\v{v}+\v{u} \]
- Este axioma diz respeito a associatividade da soma de objetos em V.
\[ \v{u} + (\v{v}+\v{w}) = (\v{u}+\v{v})+\v{w} \] - Existe um objeto 0 em V, denominado vetor nulo de V, ou vetor zero, tal que ele, somado a qualquer objeto de V resulta no próprio objeto.
\[ \left(\exists _ \v{0} \in V\right)\left(\forall _\v{u} \in V\ /\ \v{0}+\v{u} = \v{u} + \v{0} = \v{u} \right) \] - Para qualquer objeto u em V, é obrigatório que exista um objeto -u, denominado vetor negativo de u ou vetor simétrico a u, tal que u + (-u) sempre resulte no vetor nulo.
\[ \left( \forall _\v{u} \in V \right)\left( \exists _{\v{-u}} \in V\ /\ \v{u}+(\v{-u}) = (\v{-u})+\v{u} = \v{0} \right)\] - Um objeto em V, multiplicado por qualquer escalar sempre deve resultar em um objeto em V.\[ \left( \forall_a \in \mathbb{C} \land \forall_\v{u} \in V \right) \left( a \v{u} \in V \right) \]
- Aqui diz respeito a distributiva no produto de um escalar qualquer pela soma de dois objetos em V.\[ a(\v{u} + \v{v}) = a\v{u} + a\v{v} \]
- A distributiva do produto da soma de dois escalares por um objeto em V, também é válida.
\[ (a+b)\v{u} = a\v{u} + b\v{u} \] - Aqui fala da associatividade no produto de um escalar, pelo produto de um outro escalar qualquer por um objeto em V.
\[ a(b\v{u})=(ab)\v{u} \] - O escalar 1, multiplicado a qualquer objeto em V, deve resultar no próprio objeto.
\[ 1\v{u}=\v{u} \]
Exemplos de Espaços Vetoriais
\[ \mathbb{R}^n \text{ é um espaço vetorial.} \] \[ \text{Seja V um espaço que consista apenas no objeto } \v{0} \text{, V é um espaço vetorial.} \]
\[ \mathbb{R}^n \text{ é um espaço vetorial.} \] \[ \text{Seja V um espaço que consista apenas no objeto } \v{0} \text{, V é um espaço vetorial.} \]
Fonte: Aula 14 do Curso de Licenciatura em Matemática do IFRS - Campus Canoas disponibilizado pela Prof.ª Dr.ª Carina Loureiro Andrade.
O "Teorema de Pitágoras" para qualquer figura (demonstração)
Sabemos que a soma dos quadrados dos catetos de qualquer triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. Porém, estamos considerando a hipótese de isso ser válido para qualquer figura escalonada na proporção a²+b²=c². Observe a construção abaixo:
Link: http://ggbtu.be/m3136031
Vamos demonstrar isso agora:
\[ \text{Sendo } f(t) \text{ uma função definida no intervalo [0,1]}\\ \text{Definiremos } F(x):=\int_0 ^x {xf\left( \frac{t}{x} \right)dt}\\ \text{ }\\ \text{Queremos demonstrar que } \left(\forall _{a,b,c} \in \mathbb{R} / a^2+b^2=c^2 \right)\left(F(a)+F(b)=F(c)\right) \\\text{ como vimos na construção acima}\\ \text{ }\\ \text{Vamos utilizar substituição u.du em }F(x)\\ u=\frac{t}{x}, dt=x \cdot dt\\ t=0 \implies u = \frac{t}{x} = \frac{0}{x} = 0\\ t=x \implies u = \frac{t}{x} = \frac{x}{x} = 1\\ \text{ }\\ F(x)=\int_0^1{x^2 f(u) du}\\ F(x)=x^2 \int_0^1{f(u)du}\\ \text{ }\\ \text{ }\\ F(a)+F(b)=a^2\left(\int_0^1{f(u)du}\right) + b^2\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ F(a)+F(b)=\left(a^2+b^2\right)\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ \text{Porém, } F(c)=c^2 \int_0^1{f(u)du}=\left(a^2+b^2\right)\left(\int_0^1{f(u)du}\right)\\ \text{Logo, } F(a)+F(b)=F(c)\\cqd. \]
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